Un calcul d'aire - Nouvelle-Calédonie, août 2023

On considère le cube \(\mathrm{ABCDEFGH}\) d'arête \(1\) représenté ci-dessous.
On note \(\text K\) le milieu du segment \(\mathrm{[HG]}\) .
On se place dans le repère orthonormé  \(\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AD}},~\overrightarrow{\text{AE}}\right)\) .

1. Justifier que les points \(\text C\) , \(\text F\) et \(\text K\) définissent un plan.

2. a. Donner, sans justifier, les longueurs \(\mathrm{KG}\) , \(\mathrm{GF}\) et \(\mathrm{GC}\) .
    b. Calculer l'aire du triangle \(\mathrm{FGC}\) .
    c. Calculer le volume du tétraèdre \(\mathrm{FGCK}\) .
On rappelle que le volume \(V\)  d'un tétraèdre est donné par :  \(V = \dfrac13\mathcal{B} \times h\) , où  \(\mathcal B\)  est l’aire d’une base et \(h\) la hauteur correspondante.

3. a. On note  \(\overrightarrow{n}\)  le vecteur de coordonnées \((1;2;1)\) . Démontrer que   \(\overrightarrow{n}\)   est normal au plan \(\mathrm{(CFK)}\) .
    b. En déduire qu'une équation cartésienne du plan \(\mathrm{(CFK)}\) est  \(x +2y + z - 3 = 0\) .

4. On note \(∆\) la droite passant par le point \(\text G\) et orthogonale au plan \(\mathrm{(CFK)}\) . Démontrer qu’une représentation paramétrique de la droite \(∆\) est  \(\left\{\begin{array}{l c l} x&=&1 + t\\ y&=&1 + 2t\\ z&=&1 + t \end{array}\right.\)  avec  \(t\in \mathbb R\) .

5. Soit \(\text L\) le point d’intersection entre la droite \(∆\) et le plan \(\mathrm{(CFK)}\) .
    a. Déterminer les coordonnées du point \(\text L\) .
    b. En déduire que  \(\text{LG} = \dfrac{\sqrt 6}{6}\) .

6. En utilisant la question 2., déterminer la valeur exacte de l'aire du triangle \(\mathrm{CFK}\) .